Tema 5: Modelos no lineales y transformación de variables

class: inverse, center, middle

## Tema 5

### Modelos no lineales y transformación de variables

###### (actualizadas el 07-07-2023)

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### Tema 5. Modelos no lineales y transformación de variables

5.1 Unidades de medida <br>
5.2 Formas funcionales <br>
5.3 Selección de modelos: AIC <br>

**Bibliografía**

- Ezequiel Uriel (2013): Capítulo 2 (epígrafe 2.4) y Capítulo 3 (epígrafes 3.4 y 3.5)

- Wooldridge (2015): Capítulo 6 (epígrafes 6.1 y 6.2)

- Stock y Watson (2012): Capítulo 8 (epígrafe 8.2)

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### 5.1 Unidades de medida

####  ¿Qué ocurre si en lugar de medir el salario en euros pasamos a medirlo en miles de euros?

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##### Unidades de medida: cambios de escala

1. Cambios de escala en los **regresores** ( `$x$` )

- Si la variable exógena `$x$` cambia de escala, **solo cambia su coeficiente**  
  
  - En concreto, si `$x$` se **multiplica** por una constante ( `$c \neq 0$` ), su coeficiente se **divide** por la misma constante   
  - La estimación de la ordenada en el origen no cambia.
  
2. Cambios de escala en el **regresando** ( `$y$` )

- Si la variable endógena `$y$` cambia de escala, **todos los coeficientes cambian**  
  
  - En concreto, sí `$y$` se **multiplica** por una constante todos los coeficientes de las `$x$` se **multiplican** por la misma constante   
  - La ordenada también se ve afectada por el cambio de escala  
  
3. Los indicadores de bondad de ajuste y los contrastes de significatividad no cambian

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##### Cambios de escala (ejemplo)

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##### Unidades de medida: cambios de origen

- **NO** afectan a los coeficientes de pendiente

- **SÍ** afectan a `$\beta_{1}$`

- Los indicadores de bondad de ajuste y los contrastes de significatividad se mantienen.

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### 5.2 Formas funcionales

####  Muchas veces los datos se transforman tomando logaritmos ...

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##### El modelo lineal, ¿no es muy restrictivo?

- En Economía hay muchas relaciones que pueden ser no lineales ¿Podemos tratarlas/modelizarlas con nuestro MRLS?

- La respuesta es **SÍ**, al menos en muchos casos, simplemente tendremos que redefinir las variables dependiente e independiente

- Por ejemplo: `$$y = \beta_{1} + \beta_{2} x + \beta_{3} x^{2} + u$$`

`$$log(y) = \beta_{1} + \beta_{2} x + u$$`

- ¿Cómo se interpretan los parámetros de los anteriores modelos? Lo vemos enseguida

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##### a veces los datos no siguen una relación lineal

- A veces suponer que la relación entre `$x$` e `$y$` es una recta no es la mejor manera de hacer el ajuste a una
nube de puntos no es lo más adecuado.

- "Incluso" a veces no tenemos clara cómo es la relación entre `$x$` e `$y$`

- Un ejemplo de esto último [aquí](https://xkcd.com/2048/)

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##### Las 4 formas funcionales más habituales

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- **Modelo lineal-lineal:** &nbsp;  &nbsp;   `$y = \beta_{1} + \beta_{2} x + u$`   &nbsp;  &nbsp; &nbsp;   `$\beta_{2}$` es el **efecto marginal**

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- **Modelo log-log:** &nbsp;   `$log(y) = \beta_{1} + \beta_{2} log(x) + u$` &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  `$\beta_{2}$` es la **elasticidad**

<br>

- **Modelo log-lin:** &nbsp;   `$log(y) = \beta_{1} + \beta_{2} x + u$` &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  `$\beta_{2}$` es una semi-elasticidad

<br>

- **Modelos lin-log:**  &nbsp; &nbsp;    `$y = \beta_{1} + \beta_{2} log(x) + u$` &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  `$\beta_{2}$` es  una semi-elasticidad

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##### modelo lineal-lineal

`$$y = \beta_{1} + \beta_{2} x + u$$`

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##### modelo doblemente logarítmico

`$$log(y) = \beta_{1} + \beta_{2} log(x) + u$$`

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##### modelos log-lin y lin-log

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##### Formas funcionales (resumen)

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##### Formas funcionales (ejemplo)

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### 5.3 Selección de modelos: AIC

####  AIC es un estadístico que se suele utilizar para comparar modelos

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##### Si estimamos varios modelos ¿con cuál nos quedamos?

- Puede depender de muchas cosas, pero al menos hay que conocer el estadístico AIC

`$$AIC =  - \frac{2}{N} ln L(y,  \widetilde{\beta}) + \frac{2k}{N}$$`
<br><br>

`$$AIC = 1 + ln (2  \pi) + ln (\frac{SCR}{N}) + \frac{2 (k+1)}{N}$$`

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##### Algunas ideas sobre el AIC

- **CRITERIO:** Menor valor del AIC implica un mejor “ajuste” del modelo.

- No es una medida de carácter relativo como el `$R^{2}$`. Su valor no indica por sí mismo “un ajuste elevado o reducido”, pero sí permite comparar modelos.

- AIC puede aplicarse a modelos sin término constante.

- AIC penaliza la introducción de regresores adicionales; por lo tanto,  permite comparar modelos con distinto número de regresores

- El AIC tampoco se puede utilizar para comparar modelos con distinto regresando. Sin embargo es posible encontrar una transformación del mismo que permita la comparación.

- Por ejemplo si tenemos el modelo 1 (con regresando `$y$`) y el modelo 2 (regresando `$log(y)$`) se pueden comparar el AIC del modelo 1 con el AIC transformado del modelo 2: `$AIC_{2}^{'} = AIC_{2} + 2 \, N \, \overline{log(y)}$`

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##### Comparación de modelos con AIC (ejemplo)